Uden en aftale i næste måned vil tiden være meget knap til at aftale ordninger, før Storbritannien forlader EU i marts 2019, hvilket øger presset på virksomhederne for at undgå potentielle tab og flytte investeringer.

En aftale om den nordirske grænse blev pludselig sværere fredag, da Dublin-regeringen så ud til at falde.

Tusk sagde, at det stadig var muligt, at de andre 27 EU-ledere ville konkludere på et topmøde den 14.-15. december, at Storbritannien havde gjort "tilstrækkelige fremskridt" mod at opfylde tre nøglebetingelser for, at de kan godkende åbningen af ​​handelsforhandlinger i det nye år.

Men, tilføjede den tidligere polske premier, som leder blokkens topmøder, det var "stadig en kæmpe udfordring".

EU-embedsmænd forventer, at knasen kommer, når May vender tilbage mandag den 4. december for at møde EU's topchef, EU-kommissionens præsident Jean-Claude Juncker, og hans chefforhandler for Brexit, Michel Barnier.

"Tusk præsenterede tidslinjen ... med den 4. december som den absolutte deadline for Storbritannien til at yde yderligere indsats, hvilket gør det muligt for Barnier at være i stand til at anbefale tilstrækkelige fremskridt," sagde en EU-embedsmand. "May gik med til denne tidsramme."

"Det Forenede Kongerige bliver nødt til at give troværdige forsikringer om, hvordan man undgår en hård grænse inden den 4. december, da det stadig er uklart, hvordan dette kan gøres," tilføjede embedsmanden.

En yderligere komplikation lå i Irland, hvor premierminister Leo Varadkar, der har advaret om et veto uden store britiske tiltag i grænsespørgsmålet, kan udskrive et lynvalg i næste uge over et særskilt spørgsmål.

May fortalte journalister efter at have mødt Tusk, at de to sider stadig gør fremskridt i retning af at lukke huller i en økonomisk forlig, rettigheder for udlændinge efter Brexit og hvordan man undgår en "hård grænse", der kan forstyrre freden i Nordirland.

Men hun tilføjede: "Der er stadig problemer på tværs af de forskellige spørgsmål, som vi forhandler om, der skal løses."

Hun gentog en linje, hun brugte første gang i september, om, at Storbritannien ville "indfri vores forpligtelser". Men der var ingen tegn på detaljer, som EU-modparter kræver over betalinger, før de tilslutter sig Londons opfordring til forhandlinger om en post-Brexit-handelspagt.

På den irske grænse sagde May: "Vi og den irske regering fortsætter med at tale om løsninger til det. Vi har samme ønske. Vi ønsker at sikre, at bevægelse af mennesker og handel over grænsen kan fortsætte som nu."

Nu kan Irland være et problem.

"Det irske spørgsmål er meget bekymrende. Chancerne for tilstrækkelig fremgang i december var kun 50-50. Nu måske mindre,” sagde en embedsmand, der varetager Brexit-forhandlinger fra en af ​​de andre 27 EU-stater, til Reuters på sidelinjen af ​​fredagens topmøde.

Barnier kastede Unionens vægt bag Irland i fredags og fortalte den irske udenrigsminister Simon Coveney, at der var "stærk solidaritet for Irland" og "irske spørgsmål er EU-spørgsmål".

Coveney, der beskyldte regeringens modstandere for at være uansvarlige i at indkalde et mistillidsvotum til tirsdag på grund af et ikke-relateret spørgsmål, sagde, at Irland ikke ville gå med til at åbne EU-handelsforhandlinger med Storbritannien, hvis det var utilfreds med grænsen.

Mays nordirske, pro-brexit-allierede, som hun er afhængig af for at få et slankt parlamentarisk flertal, anklagede Dublin for at forsøge at tvinge Nordirland eller hele Storbritannien til at blive i en toldunion med EU og fratage det frihed til at fastsætte sine egne kommercielle regler.

EU-embedsmænd siger, at den bedste måde at undgå en "hård grænse" er at holde reglerne de samme - uanset om det kun er for Nordirland eller på tværs af Storbritannien. Storbritannien har afvist førstnævnte, fordi det ville adskille Nordirland fra det britiske fastland. Brexit-forkæmpere siger, at Storbritannien ikke skal følge EU-reglerne.